Masih ingatkah kamu dengan kalkulus? Itu loh, pelajaran tempat kamu bertemu dengan fungsi-fungsi matematika dan simbol-simbol yang terlihat seperti cacing. Pada tulisan kali ini, kita akan mengulas mengenai penggunaan kalkulus pada bidang informatika. Eh, memangnya bisa? Yuk, kita cari tahu.

Implementasi di Bidang Informatika

Jika sebelumnya kita pernah mempelajari kalkulus beserta fungsi-fungsi dasar dan manfaatnya, dalam tulisan ini kita akan lebih jauh melihat implementasi kalkulus di kehidupan nyata, khususnya pada bidang informatika.

Kalkulus untuk Analisis Algoritma

Algoritma adalah langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan suatu permasalahan. Sebagaimana yang kita ketahui, biasanya tidak hanya satu algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah. 

Salah satu cara untuk melakukan analisis algoritma adalah menggunakan Big O notation. Big O notation adalah cara menyatakan laju pertumbuhan dari sebuah fungsi mewakili jumlah operasi yang dilakukan oleh suatu algoritma terhadap ukuran inputnya.

Untuk menggunakan Big O notation, kita perlu untuk memahami konsep limit dan turunan yang merupakan bagian dari kalkulus. Contoh:

Fungsi T(n) mewakili fungsi waktu eksekusi algoritma pencarian biner, T(n) adalah waktu eksekusi, c adalah konstanta yang merepresentasikan waktu dasar eksekusi setiap langkah, dan n adalah ukuran input.

Kemudian, untuk mengetahui laju pertumbuhan waktu eksekusi tersebut kita akan mencari turunan pertama dari fungsi T’(n) menggunakan kalkulus diferensial. 

Jika melihat turunan pertama T’(n),  kita mendapati bahwa ia akan berkurang seiring dengan pertambahan n. Artinya, algoritma pencarian biner memiliki tingkat pertumbuhan waktu eksekusi yang sangat rendah dan efisien seiring dengan pertambahan ukuran input.

Penerapan kalkulus diferensial dalam analisis algoritma membantu pengembang memahami dan mengoptimalkan kinerja algoritma yang digunakan. 

Kalkulus untuk Machine Learning

Saat ini machine learning telah digunakan untuk berbagai kebutuhan, misalnya pengenalan wajah, pengenalan suara, rekomendasi produk, deteksi penipuan, analisis sentimen, dan lain-lain.

Salah satu konsep kalkulus yang sering digunakan dalam machine learning adalah turunan parsial. Turunan parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang mempunyai dua variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya dan diturunkan satu-satu. Turunan parsial digunakan untuk menghitung gradien dari sebuah fungsi objektif yang bergantung pada banyak parameter.

Gradien pada dasarnya adalah vektor turunan parsial, yang masing-masing menunjukkan seberapa sensitif fungsi terhadap perubahan parameter tertentu. Kalkulus berperan untuk menghitung turunan parsial ini. Dengan menerapkan aturan rantai dan teknik kalkulus lainnya, algoritma pembelajaran mesin secara efisien menentukan cara menyesuaikan parameter dan bias model untuk meningkatkan akurasi prediksi.

Misalkan kita ingin membuat sistem yang dapat memprediksi harga sebuah rumah berdasarkan luas tanah dan jumlah kamar. Untuk melakukannya, kita dapat menggunakan model regresi linier yang direpresentasikan fungsi sebagai berikut.

• θ₀, θ₁, θ₂ adalah parameter yang akan dioptimalkan
• hθ(x_i) = θ₀ + θ_1xi1 + θ_2xi2 adalah fungsi hipotesis yang akan menghasilkan prediksi harga rumah berdasarkan luas tanah (x_i1)  dan jumlah kamar (x_i2)
• y_i adalah harga rumah aktual pada data ke-i
• m adalah jumlah data

Untuk mencari nilai terbaik dari parameter θ₀, θ₁, θ₂, kita perlu menghitung gradien fungsi terhadap setiap parameter. Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan turunan parsial sebagai berikut.

Dengan menggunakan gradien, kita dapat memperbarui nilai parameter menggunakan metode gradient descent sebagai berikut.

α adalah learning rate yang menunjukkan seberapa besar perubahan parameter. Melalui proses ini, kita bisa mendapatkan nilai parameter terbaik yang dapat meningkatkan akurasi prediksi.

Kalkulus untuk Grafika Komputer

Kalkulus memiliki peran penting dalam grafika komputer, terutama dalam pengembangan algoritma dan teknik yang digunakan untuk membuat visualisasi grafis yang kompleks dan realistis. Berikut beberapa contohnya.

1. Shading dan Iluminasi: Kalkulus digunakan untuk menghitung gradien intensitas cahaya serta menciptakan efek shading dan pencahayaan.
2. Rendering 3D: Kalkulus integral digunakan untuk menghitung volume bayangan yang tercipta oleh sebuah objek.
3. Bezier dan B-Spline Curves: Kalkulus integral digunakan untuk menghitung panjang kurva dan luas daerah di bawah kurva, yang berguna dalam desain berbasis kurva bezier dan B-spline.

Dalam grafika komputer dikenal juga istilah rendering equation, yaitu sebuah persamaan matematika fundamental yang menggambarkan interaksi cahaya dengan permukaan objek dan lingkungan sekitarnya. Persamaan ini pertama kali diusulkan oleh David L. Cook dan Kenneth E. Torrance pada tahun 1982. Kemudian, persamaan itu dikembangkan lebih lanjut oleh James T. Kajiya pada tahun 1986.

Persamaan rendering ini menyediakan rumus matematis untuk me-render gambar sintetis yang fotorealistis. Umumnya, persamaan ini dinyatakan sebagai berikut.

Meskipun mungkin tidak terlihat secara langsung, hubungan antara kalkulus dan informatika adalah hal yang sangat erat. Konsep-konsep matematika ini memberikan dasar yang kuat untuk menganalisis, merancang, dan mengoptimalkan sistem perangkat lunak. Dengan memahami penerapan kalkulus dalam informatika, kita dapat meningkatkan kualitas dan kinerja perangkat lunak yang dikembangkan.

Kesimpulan

Kalkulus memegang peranan penting dalam bidang IT. Ia diperlukan dalam analisis algoritma, pengembangan model machine learning, computer graphics, dan masih banyak yang lainnya. Dengan memahami kalkulus, seseorang akan memiliki pengetahuan mendasar tentang cara suatu hal yang kompleks dapat bekerja dan diproses oleh komputer. Jadi, kalkulus adalah ilmu yang layak dipelajari oleh kita yang berkecimpung di dunia IT.

Namun, jika kamu bukan orang yang mahir dalam kalkulus, tenang saja. Sebab, sudah banyak para ilmuwan dan ahli komputer yang telah melakukan seluruh penelitian dan perhitungan yang dijelaskan di atas. Jadi, kita tinggal menggunakan aplikasi, library, dan teknik-teknik yang telah tersedia untuk membuat aplikasi, model machine learning, ataupun model 3D.